我是工程師，看不懂一樣東西就會想自己做一台。老虎機的「數學模型」聽起來很高深，但我真的坐下來用 32 格轉輪做了一台最小可行的機台，手算期望值，再寫程式轉 500 萬次驗證。這篇就是我做的過程，順便把 RTP、命中率、波動率三個名詞一次講清楚。
TL;DR
- RTP 不是測出來的，是算出來的：每個組合的機率 × 賠付，全部加起來。我的 32 格機台手算 93.01%，模擬 500 萬次得到 92.96%。
- 動一格就天差地遠：把每個轉輪的 7 從 1 格改成 2 格，RTP 從 93% 跳到 114%（廠商賠錢），所以設計師是用「格數」在調 RTP。
- 玩家看不到轉輪表，但 1,000 轉的實際回收可以從 72% 到 118%，短期數字根本不能拿來推 RTP。
老虎機的三張表：轉輪表、賠付表、權重
一台老虎機的數學核心就三樣東西：
- 轉輪表（reel strip）：每個轉輪上有幾格、每格放什麼符號。你在螢幕上看到的轉輪動畫只是表演，真正決定結果的是這張表。
- 賠付表（paytable）：哪些組合賠多少倍。這張表遊戲裡通常找得到。
- 亂數：RNG 替每個轉輪挑一個停格位置。這部分我在老虎機 RNG 怎麼運作那篇寫過。
Wikipedia 的老虎機條目有提到，最早的機械機台每個轉輪 10 個符號，3 個轉輪只有 1,000 種組合，頭獎最多就是千分之一。後來的電子機台用「虛擬轉輪」讓一個實體符號對應多個虛擬格，才做得出百萬分之一的頭獎。線上老虎機更簡單，轉輪表就是程式裡的一個陣列。
我做的機台：3 轉輪 × 32 格
我設計的假想機台長這樣，三個轉輪一樣：
| 符號 | 每個轉輪的格數 | 單格機率 |
|---|---|---|
| 7 | 1 | 1/32 |
| BAR | 4 | 4/32 |
| 櫻桃 | 7 | 7/32 |
| 空格 | 20 | 20/32 |
賠付表（只有一條線）：
| 組合 | 賠付（倍注） |
|---|---|
| 7-7-7 | 1,000 |
| BAR-BAR-BAR | 60 |
| 櫻桃-櫻桃-櫻桃 | 25 |
| 第一輪櫻桃（不論後面） | 2.5 |
總組合數是 32 × 32 × 32 = 32,768。接下來就是把每種中獎組合的機率乘賠付，加起來。
手算 RTP：每一條都要能回溯
| 組合 | 組合數 | 機率 | 賠付 | 貢獻 RTP |
|---|---|---|---|---|
| 7-7-7 | 1 | 1/32,768 | 1,000 | 3.05% |
| BAR × 3 | 4³ = 64 | 1/512 | 60 | 11.72% |
| 櫻桃 × 3 | 7³ = 343 | 約 1/96 | 25 | 26.17% |
| 第一輪櫻桃（排除三櫻桃） | 6,825 | 約 1/5 | 2.5 | 52.07% |
| 合計 | 命中率 22.07% | 93.01% |
這張表就是這台機的「數學模型」。幾個觀察：
- 超過一半的 RTP 來自每 5 轉中一次的 2.5 倍小獎。這就是為什麼你玩的時候「一直有中」卻一直在賠：命中率高 ≠ 賠得多。
- 頭獎 1,000 倍只佔 3% 的 RTP，但它是廣告上最大的數字。
- 標準差算出來是 6.67 倍注，這個數字就是波動率。
我一開始用了另一套賠付（頭獎 500 倍、BAR 50、櫻桃 15），手算出來 RTP 只有 51.7%，自己嚇一跳，想說是不是程式寫錯。檢查三次才確認沒錯，是我的賠付表太小氣。這才體會到設計師的工作就是在這張表上反覆微調，直到 RTP 落在 92%～97% 之間。
用程式驗證：500 萬轉
手算完當然要驗。我寫了十幾行 Python，把三個轉輪各丟一個 0～31 的亂數，查表賠付，轉 500 萬次：
import random
reel = ['7'] + ['BAR']*4 + ['CH']*7 + ['BL']*20 # 32 格
pays = {('7','7','7'):1000, ('BAR','BAR','BAR'):60, ('CH','CH','CH'):25}
def spin():
a, b, c = (random.choice(reel) for _ in range(3))
pay = pays.get((a, b, c), 0)
return pay if pay else (2.5 if a == 'CH' else 0)
N = 5_000_000
print(sum(spin() for _ in range(N)) / N) # 我跑出 0.9296
跑出 92.96%，跟手算的 93.01% 差 0.05 個百分點，這是 500 萬次抽樣的正常誤差。這就是大數法則在做事：樣本夠大，平均值就會貼近理論值。
但如果樣本不夠大呢？我把同一台機切成一段段 1,000 轉來看：
| 樣本大小 | 第 5 百分位 | 中位數 | 第 95 百分位 |
|---|---|---|---|
| 1,000 轉 | 72.0% | 89.8% | 118.0% |
| 100,000 轉 | 89.9% | — | 96.75% |
1,000 轉的實際回收從 72% 到 118% 都很正常。 一個玩家一個晚上大概就是幾百到一千轉，所以任何人說「我玩了一晚算出這台 RTP」都是在算雜訊。
設計師怎麼調 RTP：動一格就是好幾個百分點
同一台機，我試了三個改法：
| 改動 | RTP | 命中率 |
|---|---|---|
| 原版 | 93.01% | 22.07% |
| 每輪 7 從 1 格改 2 格 | 114.37% | 22.09% |
| 每輪櫻桃從 7 格改 8 格 | 112.43% | 25.20% |
| 7-7-7 賠付從 1,000 改 2,000 | 96.06% | 22.07%（標準差從 6.67 升到 11.66） |
前兩個改法會讓廠商賠錢，所以不會有人這樣做；但它說明一件事：RTP 對轉輪格數極度敏感。把頭獎賠付加倍只讓 RTP 多 3 個百分點，卻讓標準差（波動率）幾乎翻倍。這就是「同樣 96% RTP 卻有高低波動」的來源，詳見波動率怎麼判讀。
真實遊戲比我的玩具複雜很多：5 個轉輪、每輪 50～100 格、數十條線或 Megaways、Scatter、Wild、免費旋轉、乘數。但原理一模一樣，就是一張更大的表。NetEnt 的 Starburst 官方頁寫 RTP 96.08%、命中率 23%、最大 800 倍；Pragmatic Play 的 Gates of Olympus 寫 96.50%。那些數字都是設計師在轉輪表上調出來的，不是測出來的。
從我的玩具放大到真實遊戲
我的機台 3 個轉輪、32 格，全部組合只有 32,768 種，用紙筆就能算完。真實遊戲通常是 5 個轉輪、每輪 50～100 格，組合數是 100 的 5 次方 = 100 億種；再加上多條線、Scatter 觸發的免費旋轉、乘數、消除連鎖，完整枚舉會很慢，所以設計師會混用兩種方法：能枚舉的部分精算（一般旋轉的連線賠付），枚舉不完的部分用大量模擬逼近（免費旋轉這種有分支的流程），再把兩部分加起來。
這也是為什麼第三方認證實驗室驗 RTP 的方式是「拿到轉輪表跟程式碼，自己重算一次，再跑上億次模擬確認」。他們驗的是數學模型本身，不是坐在機台前面轉幾萬次。
另一個真實遊戲常見的做法是權重轉輪：同一個符號在轉輪表上可以有不同權重，程式不是均勻抽格子，而是照權重抽。效果跟「多放幾格」一樣，只是更方便微調。對玩家來說兩者沒有差別，RTP 都是算出來的常數。
玩家能從數學模型學到什麼
你拿不到轉輪表，但有幾件事是確定的：
- RTP 是常數。 它不會因為「剛吐過大獎」「這台很冷」而改變。每一轉都是同一張表、同一組機率。
- 公開的 RTP 只能相信官方。 遊戲規則頁或廠商官網的數字是由數學模型算出來、經過第三方實驗室驗證的；論壇上「實測 RTP」全是小樣本雜訊。
- 命中率跟 RTP 要分開看。 一台命中率 45% 的機可能大半是賠 0.5 倍的「中獎」，詳見命中率解析。
- 波動率看最大獎佔多少 RTP。 最大獎賠付越高、機率越低，波動越大，你的錢消失得越不均勻。
常見問題
老虎機的 RTP 是誰決定的？ 遊戲數學設計師。他們排好每個轉輪上的符號數量（轉輪表）和賠付表，把所有組合的機率乘上賠付加總，就是 RTP。RTP 是設計出來的常數，不會因為時間、地點或你怎麼按而改變。
轉輪上看起來很多 7，為什麼很少連線？ 畫面上看到的轉輪只是動畫，真正決定結果的是程式裡的轉輪表。一格 7 在 32 格裡出現機率是 1/32，三個轉輪同時出 7 是 1/32,768。
命中率高的機台是不是比較好？ 不一定。我的模型裡 52% 的 RTP 來自每 5 轉就中一次的 2.5 倍小獎，命中率 22% 但大部分是小賠。命中率只告訴你多常中，不告訴你中多少。
自己玩幾千轉可以算出一台機的 RTP 嗎？ 不行。我的模型 1,000 轉的實際回收在 72% 到 118% 之間都很常見，要到 10 萬轉才縮到 90%～97%。玩家能看到的樣本永遠太小。
延伸閱讀
- 什麼是 RTP：先搞懂 RTP 的定義再看這篇會更順。
- 老虎機 RNG 怎麼運作：轉輪表決定機率，RNG 決定這一轉停在哪一格。
- 波動率怎麼判讀：同樣 96% 為什麼有的機台讓你一下就沒錢，這篇用模擬解釋。
- 長期模擬：想看幾十萬轉下 RTP 怎麼收斂的，這篇有圖。
- 命中率解析：命中率跟 RTP 常被混在一起講，這篇把它們拆開。