每次有人問我「這台機台我玩了 300 轉輸了 800 元，是不是機台有問題」，我都想回一句：你知道 300 轉的「正常範圍」是多少嗎？大多數人不知道，因為機台只告訴你 RTP，不告訴你標準差。這篇我把算法攤開，用三台模擬機台各跑一萬場驗證公式是對的，最後給你幾行可以自己改數字的程式碼。
TL;DR
- 每轉標準差從賠付表算：Σ 機率 ×（賠率 − RTP）² 再開根號。我造的三台 RTP 96% 機台分別是 2.67、8.74、24.87。
- n 轉後：期望值 ＝ n × 注金 ×（RTP − 1），標準差 ＝ 每轉標準差 × 注金 × √n。注金 10 元、500 轉、標準差 8.74 的機台：期望 −200 元，±1 個標準差是 ±1,954 元。
- 本金 100 注的破產機率隨轉數暴增：中波動機台 100 轉 0%、500 轉 58.5%、1,000 轉 77%。期望值是負的，時間不是你的朋友。
變異數是什麼：RTP 只講平均，它講分散
RTP 是期望值：每押 1 元平均拿回多少。但「平均」掩蓋了一件事——老虎機的單次結果幾乎從來不等於平均。你一轉的結果是 0、0、0、2 倍、0、50 倍、0……平均起來是 0.96，但你實際經歷的是這串鋸齒。
變異數（variance）量的就是鋸齒有多大：每個可能結果跟平均的距離平方，用機率加權後加總。開根號得到標準差（standard deviation），單位跟注金一樣，比較好懂。公式：
RTP = Σ p_i × x_i
Var = Σ p_i × (x_i − RTP)² ← 記得把「不中」那項 x=0 也算進去
SD = √Var
我造了三台 RTP 都調到 96.00% 的模擬機台，賠付表長這樣（機率是每轉中該獎項的機率，賠率是注金的倍數）：
| 機台 | 賠付結構（機率→賠率） | 命中率 | 每轉標準差 |
|---|---|---|---|
| 低波動 | 20%→2.4、12%→4.7、5%→7.1、2.5%→11.8、0.8%→47、0.1%→118 | 40.4% | 2.67 |
| 中波動 | 14%→1.4、7%→2.8、4%→5.6、2%→11、0.6%→42、0.15%→140、0.03%→700 | 27.8% | 8.74 |
| 高波動 | 10%→1.3、5%→2.6、3%→6.4、1.2%→19、0.4%→64、0.12%→257、0.02%→1,285、0.004%→6,425 | 19.7% | 24.87 |
讀這張表的方式：三台的 RTP 一模一樣，差別全部在「錢怎麼分配」。低波動把 96% 的回報切成很多小塊、頻繁發回來；高波動把大部分回報鎖在那個 0.004% 機率的 6,425 倍裡，平常你拿到的只是零頭。同樣押 1 萬轉，三台平均都還你 9,600 元，但過程的體感天差地遠，而體感就是標準差在量的東西。
這三台是我自己設計的假機台，不是任何真實遊戲；真實機台的賠付表通常不公開完整機率，所以你算不出精確值，但可以用「廠商標的波動等級」對應到這三個量級：低 2～4、中 6～10、高 20 以上。Wizard of Odds 的賭場遊戲總表列了一台老虎機的標準差 8.74，我的中波動機台就是刻意對齊這個數字。
從每轉標準差推 n 轉的範圍：√n 公式
n 次獨立旋轉加總，期望值乘 n、變異數也乘 n，所以標準差乘 √n。寫成錢：
期望盈虧 = n × bet × (RTP − 1)
標準差(元) = SD × bet × √n
套進注金 10 元：
| 轉數 | 期望盈虧 | 低波動 ±1σ | 中波動 ±1σ | 高波動 ±1σ |
|---|---|---|---|---|
| 100 | −40 | ±267 | ±874 | ±2,487 |
| 500 | −200 | ±597 | ±1,954 | ±5,561 |
| 1,000 | −400 | ±844 | ±2,764 | ±7,865 |
| 5,000 | −2,000 | ±1,888 | ±6,180 | ±17,586 |
回到開頭的問題：300 轉輸 800 元正常嗎？中波動機台 300 轉的期望是 −120 元、標準差 1,514 元，輸 800 元離平均不到半個標準差，是非常正常的結果。機台沒有問題，是你的「正常」太窄了。
注意一個重點：期望值隨 n 線性成長（5,000 轉就是 −2,000），標準差只隨 √n 成長。轉數越多，那條負的期望線越壓過波動。低波動機台 5,000 轉之後期望 −2,000、標準差 1,888，你要有 +1 個標準差以上的運氣才能勉強打平。這就是「長期一定輸」的數學版本，長期模擬那篇有圖。
我一開始用 √n 公式算完就打算直接發文，後來覺得不踏實，畢竟公式假設結果是常態分布，但高波動機台的賠付表是極端右偏的——九成的時間在輸小錢，偶爾一個 6,425 倍。所以我寫了模擬器，每台機台每種轉數各跑 10,000 場來對。結果公式算的標準差跟模擬幾乎一致，但「範圍」不對稱：高波動 100 轉的 5% 分位是 −790 元、95% 分位是 +1,081 元，下檔比上檔窄。原因是你最多只能輸光注金 × n，卻可能贏一個大獎。公式給你量級，形狀還是要靠模擬。
破產機率：本金有限時，公式會騙你
√n 公式有一個隱藏假設：你的錢是無限的，可以一路轉到 n 次。現實是你帶了 1,000 元，中途歸零就結束了，那些「後來會贏回來」的路徑你走不到。這叫賭徒破產問題（gambler's ruin），維基百科上有不公平硬幣的封閉解，但老虎機的賠付是多值的，我直接用模擬：本金 1,000 元、注金 10 元（100 注），餘額不足一注就算破產。
| 轉數 | 低波動破產率 | 中波動破產率 | 高波動破產率 | 低／中／高 結束時有賺 |
|---|---|---|---|---|
| 100 | 0.0% | 0.0% | 0.0% | 36.6% / 25.2% / 17.4% |
| 500 | 12.3% | 58.5% | 80.9% | 34.6% / 23.8% / 12.7% |
| 1,000 | 38.2% | 77.0% | 90.5% | 29.3% / 18.4% / 8.4% |
| 5,000 | 87.8% | 92.0% | 97.1% | 8.9% / 7.5% / 2.9% |
三個觀察：第一，100 轉內沒有人破產，因為 100 注的本金撐 100 轉本來就綽綽有餘，波動還沒機會發揮。第二，500 轉是分水嶺，中波動已經過半破產、高波動八成，低波動只有 12%。第三，「結束時有賺」的比例在同樣的 RTP 下跟波動成反比——高波動機台不是「有機會大贏」而已，它是「大多數人輸光、極少數人大贏」，平均起來剛好 96%。
這張表的用法是反過來看：你今天帶的錢是「幾注」、打算轉幾次、機台什麼波動，查表就知道大概幾成機率會撐不到結束。想撐 500 轉又不想超過 10% 破產率，中波動機台的本金要拉到 200 注以上，這在資金管理那篇有更細的表。
自己算：十行程式碼
把你的賠付表（或你估的）填進去就能算：
import math
pay = [(0.14,1.4),(0.07,2.8),(0.04,5.6),(0.02,11),(0.006,42),(0.0015,140),(0.0003,700)]
rtp = sum(p*x for p,x in pay)
var = sum(p*(x-rtp)**2 for p,x in pay) + (1-sum(p for p,_ in pay))*(0-rtp)**2
sd = math.sqrt(var)
bet, n = 10, 500
print(f"RTP {rtp:.4f} SD/spin {sd:.2f}")
print(f"{n} spins: EV {n*bet*(rtp-1):+.0f}, 1σ ±{sd*bet*math.sqrt(n):.0f}")
跑出來：RTP 0.9600、每轉標準差 8.74、500 轉期望 −200、±1,954。如果拿不到完整賠付表（多數情況），退而求其次的做法是用 Demo 模式記 1,000 轉的每轉結果，直接算樣本標準差——不精確，但量級不會錯。
我第一版程式漏了「不中」那一項，算出來中波動機台的標準差只有 6.1。那一項的賠率是 0，看起來好像不用算，但它的機率是 72%，而（0 − 0.96）² × 0.72 貢獻了將近 0.66 的變異數。寫公式最容易漏的永遠是「什麼都沒發生」的那一格。
常見問題
老虎機的變異數和標準差怎麼算？ 把賠付表每個獎項的「賠率 × 機率」加總得到 RTP；再把每個獎項（含不中的 0）的（賠率 − RTP）² × 機率加總就是變異數，開根號是每轉標準差。低波動大約 2～4，中波動 6～10，高波動超過 20。
知道標準差之後怎麼算 n 轉後的範圍？ 期望值 ＝ n × 注金 ×（RTP − 1），標準差 ＝ 每轉標準差 × 注金 × √n。標準差 8.74、注金 10 元、500 轉：期望 −200 元、標準差 1,954 元。
為什麼轉越多次，破產機率越高而不是越低？ 期望值是負的。標準差只隨 √n 長，期望損失隨 n 長。本金 100 注、中波動機台：100 轉破產 0%、500 轉 58%、1,000 轉 77%、5,000 轉 92%。
這個計算器能幫我贏錢嗎？ 不能。它改不了 RTP，只能讓你事前知道「輸 500 元是正常範圍」，而不是輸了 500 才去追。
延伸閱讀
- 波動率解釋：如果這篇的公式太硬，先看那篇的白話版。
- 老虎機波動率的數學：賠付表怎麼設計出不同的標準差。
- 資金管理：用這篇的破產率表反推該帶幾注。
- 長期模擬：期望線壓過波動的那張圖。
- RTP vs 命中率：命中率跟標準差是兩個不同的東西，那篇用同一套機台算。